Алгебра: теңдемелер жана Виет теоремасы

Кыскача көбөйтүү формулалары

Олимпиадалык маселелердин көбү туюнтманы ыңгайлуу түргө келтирүүдөн башталат. Бул формулаларды жатка билүү керек:

- $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ - $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ - $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ - $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Мисалы, $2026^2 - 2024^2 = (2026 - 2024)(2026 + 2024) = 2 \cdot 4050 = 8100$ — квадраттарды эсептебей эле таптык.

Квадраттык теңдеме

$ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$) теңдемесинин дискриминанты $D = b^2 - 4ac$. $D > 0$ болсо эки тамыры бар, $D = 0$ болсо бир тамыры бар, $D < 0$ болсо чыныгы тамыры жок:

$$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Виет теоремасы

$x_1$ жана $x_2$ — $x^2 + px + q = 0$ теңдемесинин тамырлары болсо, $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 x_2 = q$.

Көп маселеде тамырлардын өзүн табуунун кереги жок. Мисалы, $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$, ал эми $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$.

Мисал

$x^2 - 5x + 2 = 0$ теңдемесинин тамырлары үчүн $x_1^2 + x_2^2$ ни табалы. Виет боюнча $x_1 + x_2 = 5$, $x_1x_2 = 2$, демек $x_1^2 + x_2^2 = 25 - 4 = 21$.